Mathématique — 6e année

Les polyèdres convexes

La relation d’Euler en pratique

Nom

Date

Rappel

la relation d’Euler

La règle: Dans un polyèdre convexe, le nombre de sommets additionné au nombre de faces est égal au nombre d’arêtes plus 2. La relation d’Euler sert à trouver un nombre manquant quand les deux autres sont connus.
Exemple: Un polyèdre convexe a 6 faces et 8 sommets. Combien a-t-il d’arêtes?
6 + 8 = 14
14 - 2 = 12 arêtes.

Trouve le nombre manquant

Utilise la relation d’Euler et montre les calculs qui justifient ta réponse.

ExempleUn polyèdre convexe a 8 faces et 12 sommets. Combien a-t-il d’arêtes? 8 + 12 - 2 = 18 arêtes.

1
Un polyèdre convexe a 4 faces et 4 sommets. Combien a-t-il d’arêtes?
2
Un cube a 6 faces et 8 sommets. Combien a-t-il d’arêtes?
3
Une pyramide à base carrée compte 5 faces et 8 arêtes. Combien a-t-elle de sommets?
4
Un polyèdre convexe compte 7 faces et 15 arêtes. Combien a-t-il de sommets?
5
Un polyèdre convexe compte 8 faces et 18 arêtes. Combien a-t-il de sommets?
6
Un polyèdre convexe compte 9 faces et 21 arêtes. Combien a-t-il de sommets?
7
Un polyèdre convexe a 8 faces et 10 sommets. Un élève affirme qu’il a 18 arêtes. Vérifie son affirmation et donne le nombre correct.

À partir des données du cube (6 faces et 8 sommets) et de la pyramide à base carrée (5 faces et 5 sommets), applique successivement la relation d’Euler pour trouver le total de leurs arêtes.

ExempleUn prisme triangulaire a 5 faces et 6 sommets; un cube a 6 faces et 8 sommets. Calcule leur nombre total d’arêtes. 5 + 6 - 2 + 6 + 8 - 2 = 21 arêtes.

a) 6 + 8 - 2 + 5 + 5 - 2 =Chaîne d'opérations

Choisis la réponse juste

Choisis une option pour chaque question et vérifie tes choix avec la relation d’Euler.

ExempleUn polyèdre convexe a 7 faces et 8 sommets. Combien a-t-il d’arêtes? A) 11 arêtes B) 13 arêtes C) 15 arêtes D) 17 arêtes B) 13 arêtes.

9
Quelle équation traduit la relation d’Euler pour un polyèdre convexe?
ANombre de sommets + nombre de faces = nombre d’arêtes + 2
BNombre de sommets + nombre d’arêtes = nombre de faces + 2
CNombre de faces + nombre d’arêtes = nombre de sommets + 2
DNombre de sommets + nombre de faces = nombre d’arêtes - 2
10
Un polyèdre convexe a 9 faces et 7 sommets. Combien a-t-il d’arêtes?
A12 arêtes
B14 arêtes
C16 arêtes
D18 arêtes
11
Un polyèdre convexe a 12 faces et 30 arêtes. Combien a-t-il de sommets?
A18 sommets
B20 sommets
C22 sommets
D24 sommets
12
Un polyèdre convexe a 14 arêtes et 8 faces. Combien a-t-il de sommets?
A6 sommets
B8 sommets
C10 sommets
D12 sommets
13
Un polyèdre convexe a 10 faces et 14 sommets. Combien a-t-il d’arêtes?
A20 arêtes
B22 arêtes
C24 arêtes
D26 arêtes
14
Quel ensemble de nombres respecte la relation d’Euler?
A6 faces, 7 sommets et 11 arêtes
B5 faces, 8 sommets et 12 arêtes
C9 faces, 10 sommets et 18 arêtes
D7 faces, 9 sommets et 13 arêtes
15
Le polyèdre A a 6 faces et 7 sommets. Le polyèdre B a 8 faces et 9 sommets. De combien le nombre d’arêtes de B dépasse-t-il celui du polyèdre A?
A2 arêtes
B4 arêtes
C6 arêtes
D8 arêtes

Défi

Déduis le nombre total d’arêtes

Applique la relation d’Euler à chaque polyèdre, puis choisis le nombre total d’arêtes.

ExempleDeux polyèdres convexes ont ensemble 10 faces et 11 sommets. Combien d’arêtes ont-ils ensemble? A) 15 arêtes B) 17 arêtes C) 19 arêtes D) 21 arêtes B) 17 arêtes, car (10 + 11) - 4 = 17.

Deux polyèdres convexes ont ensemble 11 faces et 13 sommets. Combien d’arêtes ont-ils ensemble?
A18 arêtes
B20 arêtes
C22 arêtes
D24 arêtes